Question

在直角坐標系xOy中，直線l的方程為：

x=1-t y=3+t

（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)）．
（1）已知在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，

π

2

），判斷點P與直線l的位置關系；
（2）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離d的最小值以及取到最小值時所對應的點Q的坐標．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）求出點P的直角坐標，代入方程，即可判斷點P與直線l的位置關系；
（2）設點Q的坐標為(

3

cosα，sinα)，求出點Q到直線l的距離，即可得出結論．

解答： 解：（1）把極坐標系下的點P（4，

π

2

），化為直角坐標，得P（0，4）．
因為點P的直角坐標（0，4）滿足直線l的方程x+y=4，所以點P在直線l上．
（2）因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為(

3

cosα，sinα)，
從而點Q到直線l的距離為：d=

| 3 cosα+sinα-4|

12+12

=

|4-2sin(α+ π 3 )|

2

≥

2

所以d 的最小值為

2

．此時sin(α+

π

3

)=1，從而可以取α=

π

6

．
于是有：

x= 3 cosα= 3 2 y=sinα= 1 2

．所以點Q的坐標為：Q(

3

2

，

1

2

)．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程、把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題．