Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為：

x=1-t y=3+t

（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)）．
（1）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，

π

2

），判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離d的最小值以及取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）求出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)，代入方程，即可判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(

3

cosα，sinα)，求出點(diǎn)Q到直線l的距離，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)P（4，

π

2

），化為直角坐標(biāo)，得P（0，4）．
因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)（0，4）滿足直線l的方程x+y=4，所以點(diǎn)P在直線l上．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(

3

cosα，sinα)，
從而點(diǎn)Q到直線l的距離為：d=

| 3 cosα+sinα-4|

12+12

=

|4-2sin(α+ π 3 )|

2

≥

2

所以d 的最小值為

2

．此時(shí)sin(α+

π

3

)=1，從而可以取α=

π

6

．
于是有：

x= 3 cosα= 3 2 y=sinα= 1 2

．所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q(

3

2

，

1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．