Question

已知函數(shù)（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，當時，試比較與2的大��；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個極值點，（），求k的取值范圍，并證明．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由可知，當時，由于，，

故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)．

（Ⅱ）當時，，則，

令，，

由于，故，于是在為增函數(shù)，

所以，即在恒成立，

從而在為增函數(shù)，故．

（Ⅲ）函數(shù)有兩個極值點，，則，是的兩個根，

即方程有兩個根，設，則，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減且．

要使有兩個根，只需．

故實數(shù)k的取值范圍是．

又由上可知函數(shù)的兩個極值點，滿足，

由，得，

∴，

由于，故，

所以．