Question

20．如圖在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，頂點(diǎn)S在底面上的投影為A點(diǎn)，M，N分別是AB，SD的中點(diǎn)，且SB=5，AB=3．
（1）證明：MN∥平面SBC；
（2）求三棱錐N-AMD的體積．

Answer 1

分析 （1）取SC的中點(diǎn)P，連結(jié)BP，PN．則可通過證明四邊形BMNP是平行四邊形得出MN∥BP，從而得出MN∥平面SBC；
（2）由SA⊥平面ABCD可得SA=4，于是N到平面ABCD的距離為SA的一半，于是V_N-AMD=$\frac{1}{3}{S}_{△AMD}•\frac{1}{2}SA$．

解答 （1）證明：取SC的中點(diǎn)P，連結(jié)BP，PN．
∵P，N分別是SC，SD的中點(diǎn)，
∴PN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∵四邊形ABCD是矩形，M是AB的中點(diǎn)，
∴BM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD．
∴BM$\stackrel{∥}{=}$PN，
∴四邊形BMNP是平行四邊形，
∴BP∥MN，∵BP?平面SBC，MN?平面SBC，
∴MN∥平面SBC．
（2）∵頂點(diǎn)S在底面上的投影為A點(diǎn)，
∴SA⊥平面ABCD，∴SA=$\sqrt{S{B}^{2}-A{B}^{2}}$=4．
∵N是SD的中點(diǎn)，∴N到平面ABCD的距離d=$\frac{1}{2}SA$=2．
∴V_N-AMD=$\frac{1}{3}{S}_{△AMD}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}×2$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．