Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$（n∈N₊），b_n=a_2n+1-a_n+1．
（1）證明數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列；
（2）若b_n＞2m-3對一切大于1的自然數(shù)n成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用作差法即可證明；
（2）根據(jù)（1）b_n≥b₁=$\frac{1}{3}$，由于b_n＞2m-3對一切大于1的自然數(shù)n成立，得到$\frac{1}{3}$＞2m-3，解得即可．

解答 證明：（1）∵b_n=a_2n+1-a_n+1，
∴b_n-1=a_2n-1-a_n，
∴b_n-b_n-1=a_2n+1-a_n+1-a_2n-1+a_n=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{3n+1}{2n（2n+1）（n+1）}$＞0，
∴數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列；
（2）∵b_n=a_2n+1-a_n+1=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$，
由數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，
∴b_n≥b₁=$\frac{1}{3}$，
∵b_n＞2m-3對一切大于1的自然數(shù)n成立，
∴$\frac{1}{3}$＞2m-3，
∴m＜$\frac{5}{3}$，
故m的取值范圍為（-∞，$\frac{5}{3}$）．

點評 本題考查了數(shù)列的函數(shù)特征以及參數(shù)取值范圍，屬于中檔題．