Question

已知函數(shù)，
（1）討論函數(shù)的奇偶性；
（2）證明：f（x）＞0．

Answer 1

解：（1）該函數(shù)為偶函數(shù)．
由2^x-1≠0解得x≠0即義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
f（-x）=（）（-x）=-（+）x
=（）x=（）x=（）x=f（x）
故該函數(shù)為偶函數(shù)．  
（2）證明：任取x∈{x|x≠0}
當(dāng)x＞0時(shí)，2^x＞2⁰=1且x＞0，
∴2^x-1＞0，
故
從而
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（-x）＞0，
又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）＞0，
∴f（x）＞0在定義域上恒成立．
分析：（1）由2^x-1≠0解得義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．f（-x）=（）（-x）=（）x=f（x），故該函數(shù)為偶函數(shù)． 
（2）任取x∈{x|x≠0}，當(dāng)x＞0時(shí)，2^x＞2⁰=1且x＞0，故，從而．當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，故f（-x）＞0，由函數(shù)為偶函數(shù)，能證明f（x）＞0在定義域上恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明f（x）＞0．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．