Question

6．如圖，正方形ABCD的邊長為2$\sqrt{2}$，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點G，O為GC的中點，且FO⊥平面ABCD，F(xiàn)O=$\sqrt{3}$．
（1）求證：FC∥平面ADE；
（2）求三棱錐O-ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AE，CF，通過證明平面BCF∥平面ADE，得出CF∥平面ADE；
（2）S_△AOD=$\frac{3}{4}{S}_{△ACD}$，代入V_O-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△AOD}•FO$求出體積．

解答 （1）證明：連結(jié)AE，CF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，∵AD?平面ADE，BC?平面ADE，
∴BC∥平面ADE，
同理：BF∥平面ADE，
∵BC?平面BCF，BF?平面BCF，BC∩BF=B，
∴平面平面BCF∥平面ADE，
∵FC?平面BCF，∴FC∥平面ADE．
（2）解：∵正方形ABCD的邊長為2$\sqrt{2}$，O為GC的中點，
∴AO=$\frac{3}{4}AC$，
∴S_AOD=$\frac{3}{4}{S}_{ACD}$=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（2\sqrt{2}）^{2}$=3．
∵四邊形BDEF是平行四邊形，F(xiàn)O⊥平面ABCD，F(xiàn)O=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐E-ADO的高為$\sqrt{3}$．
∴V_O-ADE=V_E-AOD=$\frac{1}{3}{S}_{△AOD}•FO$=$\frac{1}{3}×3×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．