Question

設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N*，其中a，c為實數，且c≠0
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設N*，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）若0＜a_n＜1對任意n∈N*成立，證明0＜c≤1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）需要觀察題設條件進行恒等變形，構造a_n-1=c（a_n-1-1）利用迭代法計算出數列的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論求出數列的通項，觀察知應用錯位相減法求和；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的結論知a_n=（a-1）c^n-1+1．接合題設條件得出，．然后再用反證法通過討論得出c的范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題設得：n≥2時，a_n-1=c（a_n-1-1）=c²（a_n-2-1）=…=c^n-1（a₁-1）=（a-1）c^n-1．
所以a_n=（a-1）c^n-1+1．
當n=1時，a₁=a也滿足上式．
故所求的數列{a_n}的通項公式為：a_n=（a-1）c^n-1+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：.，
∴．
∴
所以∴．
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知a_n=（a-1）c^n-1+1．
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，則0＜（1-a）c^n-1＜1．
因為0＜a₁=a＜1，∴．
由于c^n-1＞0對于任意n∈N₊成立，知c＞0．
下面用反證法證明c≤1．
假設c＞1．由函數f（x）=c^x的圖象知，當n→+∞時，c^n-1→+∞，
所以不能對任意n∈N₊恒成立，導致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1
點評：本題主要考查數列的概念、數列通項公式的求法以及不等式的證明等；考查運算能力，綜合運送知識分析問題和解決問題的能力．第三問中特值法與反證法想接合，對做題方向與方法選取要求較高．是一個技能性較強的題．