Question

13．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）＞6的解集A；
（2）若關(guān)于x的表達式f（x）＞|a-1|的解集B⊆A，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞6等價于$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{2-4x＞6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{4x-2＞6}\end{array}}\right.$，由此能求出不等式f（x）＞6的解集A．
（2）f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，求出f（x）的值域，從而f（x）＞|a-1|的解集B≠ϕ．由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
∴由題意得：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2-4x，x＜-\frac{1}{2}}\\{4，-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{4x-2，x＞\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，
則不等式f（x）＞6等價于$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{2-4x＞6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{4x-2＞6}\end{array}}\right.$，
解得：x＜-1或x＞2，
∴不等式f（x）＞6的解集A={x|x＜-1或x＞2}．
（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
∴f（x）的值域為[4，+∞），
∴f（x）＞|a-1|的解集B≠ϕ．
要B⊆A，需|a-1|≥6，即a-1≥6或a-1≤-6，
∴a≥7或a≤-5，
∴實數(shù)a的取值范圍是a≤-5或a≥7．

點評 本題考查絕對值不等式的解集的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．