如圖，已知AO是四面體ABCD的高，M是AO的中點(diǎn)，連接BM、CM、DM．求證：BM、CM、DM兩兩垂直．
考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面垂直的性質(zhì)
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：連接OB，OC，OD，則AO分別垂直于OB，OC，OD．利用勾股定理得△MBC為直角三角形，且∠CMB=90°，同理得出，∠CMD=∠DMB=∠BMC=90°，由此能證明BM，CM，DM兩兩垂直．
解答： 證明：∵AO是四面體ABCD的高，∴AO垂直于面ABCD．
連接OB，OC，OD，則AO分別垂直于OB，OC，OD．
設(shè)正四面體ABCD的邊長為a，
則AB=BC=CD=DA=a，OB=OC=OD=
3
3
a，
OA2=AD2-OD2，
OA=
6
a
3
，OM=
6
a
6
，
BM2=OM2+OB2，BM=CM=DM=
2
a
2
，
在三角形MBC中，MB2+MC2=BC2，符合勾股定理，
∴△MBC為直角三角形，且∠CMB=90°，
同理得出，∠CMD=∠DMB=∠BMC=90°，
∴BM，CM，DM兩兩垂直．
點(diǎn)評：本題考查三條直線兩兩垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+2在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線l：x-y-1=0垂直，
（1）求實(shí)數(shù)a的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，h（n）=lnn，數(shù)列{an}：an=2g（n）-h（n），求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使對任意n∈N*，不等式an＞log2m-4logm2-1恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（sin2x+cos2x）2-2sin22x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-
π
8
，
π
8
]時，求y=f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，AC垂直準(zhǔn)線于C，BD垂直準(zhǔn)線于D，又O為原點(diǎn)．
（1）證明：CF⊥DF      
（2）A、O、D三點(diǎn)共線    
（3）
1
AF
+
1
BF
=
2
p
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點(diǎn)A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8．求動圓圓心的軌跡C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，?ABCD中，
AB
=
a
，
AD
=
b
，H、M是AD、DC的中點(diǎn)，
BF
=
1
3
BC
，以
a
、
b
為基底分解向量
AM
和
HF
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某籃球隊(duì)與其他6支籃球隊(duì)依次進(jìn)行6場比賽，每場均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊(duì)與其他籃球隊(duì)比賽中獲勝的事件是獨(dú)立的，并且獲勝的概率均為
1
3
．
（1）求這支籃球隊(duì)首次獲勝前已經(jīng)負(fù)了兩場的概率；
（2）求這支籃球隊(duì)在6場比賽中恰好獲勝3場的概率；
（3）求這支籃球隊(duì)在6場比賽中獲勝場數(shù)的均值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義函數(shù)f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N*）時，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)榧螦，記A中的元素個數(shù)為an，則
an+49
n
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2，離心率為
2
2
，橢圓C的方程
 
．

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同步練習(xí)冊答案