Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B是圓x²+y²-6x+5=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足$|AB|=2\sqrt{3}$，則$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的最小值為4．

Answer 1

分析 本題可利用AB中點(diǎn)M去研究，先通過坐標(biāo)關(guān)系，將$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{OM}$，用根據(jù)AB=2$\sqrt{3}$，得到M點(diǎn)的軌跡，由圖形的幾何特征，求出$\overrightarrow{OM}$模的最小值，得到本題答案．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)M（x′，y′）．
∵x′=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y′=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=2$\overrightarrow{OM}$，
∵圓C：x²+y²-6x+5=0，
∴（x-3）²+y²=4，圓心C（3，0），半徑CA=2．
∵點(diǎn)A，B在圓C上，AB=2$\sqrt{3}$，
∴CA²-CM²=（$\frac{1}{2}$AB）²，
即CM=1．
點(diǎn)M在以C為圓心，半徑r=1的圓上．
∴OM≥OC-r=3-1=2．
∴|$\overrightarrow{OM}$|≥2，∴$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$≥4，
∴$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程的思想，可利用AB中點(diǎn)M去研究，先通過坐標(biāo)關(guān)系，將本題考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程的思想，可利用AB中點(diǎn)M去研究，先通過坐標(biāo)關(guān)系，得到M點(diǎn)的軌跡，由圖形的幾何特征，求出結(jié)果．