Question

4．已知函數(shù)f（x）=Asin（$\frac{x}{3}$-φ）（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2，其圖象經(jīng)過點M（π，1）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用由函數(shù)的最大值求出A，由特殊點求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公公式，求得cos（α+β）的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（$\frac{x}{3}$-φ）（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2，∴A=2，
∵其圖象經(jīng)過點M（π，1），∴2sin（$\frac{π}{3}$-φ）=1，即 sin（$\frac{π}{3}$-φ）=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{π}{3}$-φ=$\frac{π}{6}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 6kπ+2π≤x≤6kπ+5π，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[6kπ+2π，6kπ+5π]，k∈Z．
（2）設(shè)α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，∵f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sinα=$\frac{10}{13}$，∴sinα=$\frac{5}{13}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$．
∵f（3β+2π）=2sin（β+$\frac{π}{2}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，∴cosβ=$\frac{3}{5}$，∴sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{12}{13}•\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}•\frac{4}{5}$=$\frac{16}{65}$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最大值求出A，由特殊點求出φ的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公公式，屬于基礎(chǔ)題．