Question

15．在二項(xiàng)式（x²-$\frac{1}{x}$）⁵的展開式中，記x⁴的系數(shù)為a，則${∫}_{0}^{\frac{a}{10}}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． π

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式T_r+1求出展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)a，再利用定積分的幾何意義求出${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx的值．

解答 解：二項(xiàng)式（x²-$\frac{1}{x}$）⁵的展開式中，
通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$•x^2（5-r）•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{5}^{r}$•x^10-3r，
10-3r=4，r=2，
則x⁴項(xiàng)的系數(shù)是a=${C}_{5}^{2}$•（-1）²=10，
則${∫}_{0}^{\frac{a}{10}}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx
它表示的幾何意義是由曲線y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$，直線x=0，x=1所圍成封閉圖形的面積，
故${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式以及定積分幾何意義的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．