Question

2．點A、B、C、D在同一個球的球面上，${A}{B}={B}C=\sqrt{2}$，AC=2，若四面體ABCD體積的最大值為$\frac{2}{3}$，則這個球的表面積為（　�。�

• A． 8π
• B． $\frac{25π}{4}$
• C． $\frac{25π}{16}$
• D． $\frac{125π}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：根據(jù)題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設(shè)小圓的圓心為Q，
若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{1}{3}$×1×DQ=$\frac{2}{3}$，∴DQ=2，如圖．
設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=1²+（2-R）²，∴R=$\frac{5}{4}$
則這個球的表面積為：S=4π（$\frac{5}{4}$）²=$\frac{25π}{4}$
故選：B．

點評 本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．