Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）連線的斜率乘積k_PA•k_PB=-$\frac{1}{4}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線l不與坐標(biāo)軸垂直，且與軌跡E交于不同兩點(diǎn)M，N，若OM⊥ON，求證：l與以O(shè)為圓心的定圓相切．

Answer 1

分析 （1）利用動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）連線的斜率乘積k_PA•k_PB=-$\frac{1}{4}$，可得$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$，則橢圓C的方程可求；
（2）設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的積，代入OM⊥ON得到r=$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即圓的半徑，則定圓方程可求．

解答 解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）連線的斜率乘積k_PA•k_PB=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線y=kx+b代入橢圓方程得：（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0．
x₁+x₂=-$\frac{8kb}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
∴（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0
整理得，b²=$\frac{4}{5}$（k²+1）．
而原點(diǎn)到直線AB的距離d即圓的半徑r=$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由此得出直線與原點(diǎn)為圓心的圓相切，半徑為定長(zhǎng)：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴l(xiāng)與以O(shè)為圓心的定圓相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題，常采用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解題，是壓軸題．