Question

11．對(duì)?x∈（0，$\frac{π}{2}$），下列四個(gè)命題：①sinx+tanx＞2x；②sinx•tanx＞x²；③sinx+tanx＞$\frac{8}{3}$x；④sinx•tanx＞2x²，則正確命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ①、②
• B． ①、③
• C． ③、④
• D． ②、④

Answer 1

分析 ①令f（x）=sinx+tanx-2x，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可判斷；
②令f（x）=sinxtanx-x²，求得導(dǎo)數(shù)，再令g（x）=sinx+$\frac{sinx}{co{s}^{2}x}$-2x，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可判斷f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到結(jié)論；
③令x=$\frac{π}{6}$，求出不等式左右兩邊的數(shù)值，即可判斷；④令x=$\frac{π}{4}$，求出不等式左右兩邊的數(shù)值，即可判斷．

解答 解：①令f（x）=sinx+tanx-2x，
求導(dǎo)f′（x）=cosx+sec²x-2=$\frac{cosx（cosx-1）^{2}+（1-cosx）}{co{s}^{2}x}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴0＜cosx＜1，
∴f′（x）＞0，即函數(shù)單調(diào)遞增，
又f（0）=0，∴f（x）＞0，
∴sinx+tanx-2x＞0，即sinx+tanx＞2x，故①正確；
②令f（x）=sinxtanx-x²，f′（x）=cosxtanx+sinxsec²x-2x=sinx+$\frac{sinx}{co{s}^{2}x}$-2x，
g（x）=sinx+$\frac{sinx}{co{s}^{2}x}$-2x，g′（x）=cosx+$\frac{co{s}^{3}x+2cosxsi{n}^{2}x}{co{s}^{4}x}$-2=cosx+$\frac{1}{cosx}$-2+$\frac{2si{n}^{2}x}{co{s}^{3}x}$，
由0＜x＜$\frac{π}{2}$，則cosx∈（0，1），cosx+$\frac{1}{cosx}$＞2，則g′（x）＞0，
g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）遞增，即有g(shù)（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，
f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）遞增，即有f（x）＞f（0）=0，故②正確；
③令x=$\frac{π}{6}$，則sinx+tanx=sin$\frac{π}{6}$+tan$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{8}{3}$x=$\frac{4π}{9}$，由$\frac{4π}{9}$＞$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$，故③錯(cuò)誤；
④令x=$\frac{π}{4}$，則sinxtanx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2x²=$\frac{{π}^{2}}{8}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{{π}^{2}}{8}$，故④錯(cuò)誤．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角不等式的恒成立問(wèn)題，主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而得到大小和特殊值法判斷，是解題的關(guān)鍵．