Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，PA=AD=1，AB=2．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面PMC⊥平面PCD；
（3）求點D到平面PMC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)PD的中點為E，連接AE、NE，

由N為PC的中點知EN平行且等于 DC，

又ABCD是矩形，∴DC平行且等于AB，∴EN平行且等于 AB

又M是AB的中點，∴EN平行且等于AM，

∴AMNE是平行四邊形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD

∴MN∥平面PAD

（2）證明：∵PA=AD，∴AE⊥PD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，

∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD，

又MN平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD

（3）解：設(shè)點D到平面PMC的距離為h，則 ，

∴點D到平面PMC的距離h= ．

【解析】（1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內(nèi)一直線平行即可，設(shè)PD的中點為E，連接AE、NE，易證AMNE是平行四邊形，則MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD，滿足定理所需條件；（2）欲證平面PMC⊥平面PCD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PMC內(nèi)一直線與平面PCD垂直，而AE⊥PD，CD⊥AE，PD∩CD=D，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD，而MN∥AE，則MN⊥平面PCD，又MN平面PMC，滿足定理所需條件；（3）利用等體積，求點D到平面PMC的距離．