分析 (1)判斷{bn}是等差數(shù)列.然后化簡(jiǎn)a16-a5=(a16-a15)+(a15-a14)+(a14-a13)+…+(a6-a5)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求和即可.
(2)利用a2n+3-a2n+1=22n+1-231-2n,判斷a2n+3<a2n+1,求出n<7.5,a2n+3>a2n+1求出n>7.5,帶帶數(shù)列{a2n+1}中a17最小,即第8項(xiàng)最�。�
法二:化簡(jiǎn)bn=(−1)n(2n+233−n)=(−2)n+233(−12)n,求出a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n=13[1−233+(22n+1+233−2n)],利用基本不等式求出最小值得到數(shù)列{a2n+1}中的第8項(xiàng)最�。�
(3)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,說(shuō)明數(shù)列{cn}為等差數(shù)列. 由bn=an+1-an=d(n=1,2,3,…),推出bn≤bn+1,若數(shù)列{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…),設(shè){cn}的公差為D,轉(zhuǎn)化推出bn+1=bn(n=1,2,3,…),說(shuō)明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.得到結(jié)果.
解答 解:(1)由bn=10-n,可得bn+1-bn=(9-n)-(10-n)=-1,故{bn}是等差數(shù)列.
所以a16-a5=(a16-a15)+(a15-a14)+(a14-a13)+…+(a6-a5)=b15+b14+b13+…+b5=11(b15+b5)2=11b10=0…(4分)
(2)a2n+3-a2n+1=(a2n+3-a2n+2)+(a2n+2-a2n+1)=b2n+2+b2n+1=(22n+2+231-2n)-(22n+1+232-2n)=22n+1-231-2n…(6分)
由a2n+3<a2n+1?22n+1-231-2n<0?n<7.5,a2n+3>a2n+1?22n+1-231-2n>0?n>7.5,…(8分)
故有a3>a5>a7>…>a15>a17<a19<a20<…,
所以數(shù)列{a2n+1}中a17最小,即第8項(xiàng)最�。 � …(10分)
法二:由bn=(−1)n(2n+233−n)=(−2)n+233(−12)n,…(5分)
可知a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n=1+[(−2)1−(−2)2n3+(−232)1−(−12)2n1+12]=13[1−233+(22n+1+233−2n)]…(8分)≥13[1−233+2√234](當(dāng)且僅當(dāng)22n+1=233-2n,即n=8時(shí)取等號(hào))
所以數(shù)列{a2n+1}中的第8項(xiàng)最�。� …(10分)
(3)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,
則cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)=d+2d=3d為常數(shù),
所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列. …(12分)
由bn=an+1-an=d(n=1,2,3,…),可知bn≤bn+1(n=1,2,3,…). …(13分)
若數(shù)列{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…),設(shè){cn}的公差為D,
則cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)=bn+2bn+1=D(n=1,2,3,…),…(15分)
又bn+1+2bn+2=D,故(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)=D-D=0,
又bn+1-bn≥0,bn+2-bn+1≥0,故bn+1-bn=bn+2-bn+1=0(n=1,2,3,…),…(17分)
所以bn+1=bn(n=1,2,3,…),故有bn=b1,所以an+1-an=b1為常數(shù).
故數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
綜上可得,“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充分必要條件是“數(shù)列{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…)”. …(18分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的判斷,數(shù)列求和,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 15 | B. | 310 | C. | 910 | D. | 45 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 若p:?x∈R,ex>xe,q:?x0∈R,|x0|≤0,則(¬p)∧q為假 | |
B. | x=1是x2-x=0的必要不充分條件 | |
C. | 直線(xiàn)ax+y+2=0與ax-y+4=0垂直的充要條件為a=±1 | |
D. | “若xy=0,則x=0或y=0”的逆否命題為“若x≠0或y≠0,則xy≠0” |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | \frac{π}{8} | B. | 1-\frac{π}{8} | C. | \frac{π}{4} | D. | 1-\frac{π}{4} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | ①② | B. | ①④ | C. | ②③ | D. | ③④ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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