Question

19．已知等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和滿足S_n=1-A•3ⁿ，數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，且b_n=An²+Bn，則A=1，B的取值范圍為（-3，+∞）．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和滿足S_n=1-A•3ⁿ，分別求出前三項(xiàng)，利用等比數(shù)列{a_n}中${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，能求出A．根據(jù)數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，且b_n=An²+Bn=n²+Bn，利用b_n+1-b_n＞0，能求出B的取值范圍．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和滿足S_n=1-A•3ⁿ，
∴a₁=S₁=1-3A，
a₂=S₂-S₁=（1-9A）-（1-3A）=-6A，
a₃=S₃-S₂=（1-27A）-（1-9A）=-18A，
∵等比數(shù)列{a_n}中${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，
∴36A²=（1-3A）（-18A），
解得A=1或A=0（舍），故A=1．
∵數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，且b_n=An²+Bn=n²+Bn，
∴b_n+1-b_n=（n+1）²+B（n+1）-（n²+Bn）=2n+1+B＞0．
∴B＞-2n-1，
∵n∈N^*，∴B＞-3．
∴B的取值范圍為（-3，+∞）．
故答案為：1，（-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)、遞增數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．