Question

15．設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）存在極小值點(diǎn)x₀，則稱x₀為f（x）的“下凸拐點(diǎn)”．
（1）f（x）=x³的“下凸拐點(diǎn)”為0；
（2）f（x）=e^x-$\frac{1}{2}a{x^3}$在區(qū)間（0，2）上存在“下凸拐點(diǎn)”，則a的取值范圍為$（\frac{e}{3}，\frac{{e}^{2}}{3}）$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)求導(dǎo)公式分別求出f′（x）和f″（x），分別判斷出f″（x）與0的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)f′（x）的極小值點(diǎn)；
（2）根據(jù)求導(dǎo)公式分別求出f′（x）和f″（x），再構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-3ax，求出g′（x），根據(jù)條件和極小值的條件列出不等式組，化簡(jiǎn)后求出a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=（x³）′=3x²，∴f″（x）=6x，
由f″（x）=6x=0得，x=0，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f″x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，f″x）＞0，
∴f′（x）存在極小值點(diǎn)x₀=0，
即f（x）=x³的“下凸拐點(diǎn)”為0；
（2）由題意得，f′（x）=${e}^{x}-\frac{3}{2}a{x}^{2}$，∴f″（x）=e^x-3ax，
設(shè)g（x）=e^x-3ax，則g′（x）=e^x-3a，
由g′（x）=e^x-3a=0得，x=ln（3a），
∵f（x）=e^x-$\frac{1}{2}a{x^3}$在區(qū)間（0，2）上存在“下凸拐點(diǎn)”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜ln（3a）＜2}\\{{e}^{2}-3a＞0}\\{{e}^{0}-3a＜0}\\{{e}^{ln（3a）}-3aln（3a）＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{e}{3}＜a＜\frac{{e}^{2}}{3}$，
∴a的取值范圍為$（\frac{e}{3}，\frac{{e}^{2}}{3}）$，
故答案為：（1）0；（2）（$\frac{e}{3}$，$\frac{e^2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的問(wèn)題，以及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值等，考查轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造函數(shù)法等，綜合性強(qiáng)、難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)．