Question

向量

a

、

b

、

c

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=-

1

2

，＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=60°，則|

c

|的最大值為

2

．

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積求出

a

與

b

的夾角；利用向量的運(yùn)算法則作出圖；結(jié)合圖，判斷出四點(diǎn)共圓；利用正弦定理求出外接圓的直徑，求出最大值．

解答：解：由|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=-

1

2

，＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=60°，
可得1×1×cos＜

a

，

b

＞=-

1

2

，∴cos＜

a

，

b

＞=-

1

2

，∴＜

a

，

b

＞=120°，
如圖所示：設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，則

CA

=

a

-

c

，

CB

=

b

-

c

，
∴

AB

=

b

-

a

，

AB

2=

b

2+

a

2-2

a

•

b

=1+1-2（-

1

2

）=3，∴|

AB

|=

3

，
由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=

AB

sin∠ACB

=2，
當(dāng)OC為直徑時(shí)，它的模最大，且最大值為2，
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積公式、向量的運(yùn)算法則、四點(diǎn)共圓的判斷、三角形的正弦定理，屬于中檔題．