Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$）（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若x∈[0，2π]時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，由周期公式可得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$即可解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）令f（x）=0得：sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，從而解得x=k$π+\frac{π}{12}$或x=k$π-\frac{π}{4}$，k∈Z．又x∈[0，2π]，即可得函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{6}）+2×\frac{1-cos（2x-\frac{π}{6}）}{2}$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．…（3分）
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．                              …（4分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為：[2k$π-\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{π}{2}$]，k∈Z．
所以由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$得：k$π-\frac{π}{12}$≤x≤k$π+\frac{5π}{12}$，k∈Z．                    …（7分）
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[k$π-\frac{π}{12}$，k$π+\frac{5π}{12}$]，k∈Z       …（10分）
（3）令f（x）=0得：sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
所以2x-$\frac{π}{3}$=2k$π-\frac{π}{6}$或2x-$\frac{π}{3}$=2k$π-\frac{5π}{6}$，k∈Z．
即：x=k$π+\frac{π}{12}$或x=k$π-\frac{π}{4}$，k∈Z．             …（12分）
又x∈[0，2π]，所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為：$\frac{π}{12}，\frac{13π}{12}，\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．