Question

11．設(shè)a＞0，b＞0，2c＞a+b，求證：
（1）c²＞ab；
（2）c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本不等式的證明即可證明c²＞ab；
（2）利用分析法進行證明．

解答 證明：（1）∵a＞0，b＞0，2c＞a+b$≥2\sqrt{ab}$，
∴c＞$\sqrt{ab}$，
平方得c²＞ab；
（2）要證c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$．
只要證-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a-c＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$．
即證|a-c|＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$，
即（a-c）²＜c²-ab，
∵（a-c）²-c²+ab=a（a+b-2c）＜0成立，
∴原不等式成立．

點評 本題主要考查不等式的證明，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合分析法是解決本題的關(guān)鍵．