Question

3．設數(shù)列{a_n}滿足a₁+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=n，b_n=nlog₃a_4n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項；
（Ⅱ）設c_n=$\frac{1}{_{n}-1}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）通過a₁+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=n與當n≥2時a₁+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-2}}$=n-1作差可知a_n=3^n-1，驗證a₁=1是否成立即可．進而利用對數(shù)的性質(zhì)可得b_n=4n²；
（II）通過（I）裂項可知c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（I）∵a₁+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=n，
∴當n≥2時，a₁+$\frac{{a}_{2}}{3}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-2}}$=n-1，
兩式相減，得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=n-（n-1）=1，即a_n=3^n-1，
又∵a₁=1滿足上式，
∴a_n=3^n-1．
∴b_n=nlog₃a_4n+1=n$lo{g}_{3}{3}^{4n}$=4n²；
（II）由（I）可知c_n=$\frac{1}{_{n}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
所以S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查階差法、裂項相消法，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎題．