Question

6．若函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）滿(mǎn)足下列條件：
（1）f（x）的圖象向左平移π個(gè)單位時(shí)第一次和原圖象重合；
（2）對(duì)任意的x∈R都有$f（x）≤f（\frac{π}{6}）=2$成立．
則：（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若銳角△ABC的內(nèi)角B滿(mǎn)足f（B）=1，且∠B的對(duì)邊b=1，求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω，由題意可求A，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得2×$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，結(jié)合范圍0≤φ＜π，可求φ，即可得解函數(shù)解析式．
（Ⅱ）由$2sin（2B+\frac{π}{6}）=1$，可求$∠B=\frac{π}{3}$，結(jié)合△ABC是銳角三角形，可求范圍$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，由正弦定理可得$a=\frac{bsinA}{sinB}=\frac{2sinA}{{\sqrt{3}}}，c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{{2sin（{\frac{2π}{3}-A}）}}{{\sqrt{3}}}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)周長(zhǎng)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解其取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得：ω=2，
∵對(duì)任意的x∈R都有$f（x）≤f（\frac{π}{6}）=2$成立，
∴x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）有最大值2，可得：A=2，
∵2×$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
又∵0≤φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）f（B）=1，
∴$2sin（2B+\frac{π}{6}）=1$，
∴$∠B=\frac{π}{3}$，
∵△ABC是銳角三角形，
∴$0＜A＜\frac{π}{2}，0＜C=\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴△ABC中，由正弦定理可得$a=\frac{bsinA}{sinB}=\frac{2sinA}{{\sqrt{3}}}，c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{{2sin（{\frac{2π}{3}-A}）}}{{\sqrt{3}}}$，
∴$l=\frac{2sinA}{{\sqrt{3}}}+\frac{{2sin（{\frac{2π}{3}-A}）}}{{\sqrt{3}}}+1=2sin（{A+\frac{π}{6}}）+1$，
∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$l∈（{1+\sqrt{3}，3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．