Question

8．如圖，已知在△ABC中，AE，AD分別為其角平分線和中線，△ADE的外接圓為⊙O，⊙O與AB，AC分別交于M，N，求證：
（Ⅰ）$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$；
（Ⅱ）BM=CN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過C作CF∥AB，CF與AE的延長線交于F，∠BAE=∠CAE，∠F=∠CAE，AC=CF．可得△ABE∽△FCE，$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$；
（Ⅱ）由割線定理可得BM•BA=BD•BE，CN•CA=CE•CD，由BD=CD，可知$\frac{BM\;•\;BA}{CN\;•\;CA}=\frac{BD\;•\;BE}{CE\;•\;CD}=\frac{BE}{CE}$，由（Ⅰ）知$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$，化簡易得結論．

解答 解：（Ⅰ）證明：過C作CF∥AB，CF與AE的延長線交于F，
∴∠F=∠BAF．
∵AE為△ABC的角平分線，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠F=∠CAE，
∴AC=CF．
∵△ABE∽△FCE，
∴$\frac{AB}{CF}=\frac{BE}{EC}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$．…（5分）
（Ⅱ）由割線定理可得BM•BA=BD•BE，

∵BD=CD，
∴$\frac{BM\;•\;BA}{CN\;•\;CA}=\frac{BD\;•\;BE}{CE\;•\;CD}=\frac{BE}{CE}$，
由（Ⅰ）知$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{BM\;•\;BA}{CN\;•\;CA}=\frac{BM}{CN}\;•\;\frac{BA}{CA}=\frac{BM}{CN}\;•\;\frac{BE}{EC}$，
∴$\frac{BM}{CN}=1$，
即BM=CN．…（10分）

點評 本題主要考查平面幾何證明，考查了三角形的相似、直線與圓相切的性質，割線定理的應用，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．