Question

3．已知點(diǎn)F是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（3，y₀）（y₀＞1）是拋物線C上一點(diǎn)，且$|{PF}|=\frac{13}{4}$，⊙Q的方程為x²+（y-3）²=6，過(guò)點(diǎn)F作直線l，與拋物線C和⊙Q依次交于M，A，B，N．（如圖所示）
（1）求拋物線C的方程；
（2）求（|MB|+|NA|）•|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由P（3，y₀）在拋物線C上得2py₀=9，結(jié)合拋物線的定義，即可求拋物線C的方程；
（2）由題知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，表示出（|MB|+|NA|）•|AB|，即可求（|MB|+|NA|）•|AB|的最小值．

解答 解：（1）由P（3，y₀）在拋物線C上得2py₀=9
又由$|{PF}|=\frac{13}{4}$得${y_0}+\frac{p}{2}=\frac{13}{4}$
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{y_0}=1}\\{p=\frac{9}{2}}\end{array}}\right.$，$\left\{{\begin{array}{l}{{y_0}=\frac{9}{4}}\\{p=2}\end{array}}\right.$，又y₀＞1  故$\left\{{\begin{array}{l}{{y_0}=\frac{9}{4}}\\{p=2}\end{array}}\right.$
所以拋物線C的方程為x²=4y．…（4分）
（2）由題知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+1
則圓心Q（0，3）到直線l的距離為$d=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{6-\frac{4}{{{k^2}+1}}}$…（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}}\right.$得y²-（2+4k²）y+1=0，
則${y_1}+{y_2}=4{k^2}+2$，由拋物線定義知，$|MN|={y_1}+{y_2}+2=4（1+{k^2}）$…（8分）
∴（|MB|+|NA|）•|AB|=（|MN|+|AB|）•|AB|=|MN||AB|+|AB|²
=$8（{k^2}+1）\sqrt{（6-\frac{4}{{{k^2}+1}}）}+4•（6-\frac{4}{{{k^2}+1}}）$=$8\sqrt{6{{（{k^2}+1）}^2}-4（{k^2}+1）}-\frac{16}{{{k^2}+1}}+24$…（10分）
設(shè)t=k²+1（t≥1），則$（|{MB}|+|{NA}|）•|{AB}|=8\sqrt{6{t^2}-4t}-\frac{16}{t}+24=8\sqrt{6{{（t-\frac{1}{3}）}^2}-\frac{2}{3}}-\frac{16}{t}+24$，（t≥1）
∵函數(shù)$y=\sqrt{6{{（t-\frac{1}{3}）}^2}-\frac{2}{3}}$和$y=-\frac{16}{t}$在[1，+∞﹚上都是單調(diào)遞增函數(shù)
∴當(dāng)t=1時(shí)即k=0時(shí)，（|MB|+|NA|）•|AB|有最小值$8\sqrt{2}+8$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查函數(shù)思想的運(yùn)用，屬于中檔題．