Question

13．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（　　）

• A． $y=-\frac{1}{x}$
• B． y=3^-x-3^x
• C． $y=ln（{x+\sqrt{1+{x^2}}}）$
• D． $y=\frac{{{3^x}+1}}{{{3^x}-1}}$

Answer 1

分析 利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)對選項逐項判斷即可．

解答 解：對于A：反比例函數(shù)，圖象在二、四象限，是奇函數(shù)，但在整個定義域內(nèi)不連續(xù)，沒有單調(diào)性，故A不對．
對于B：令t=3^x，y=$\frac{1}{t}-t$，是奇函數(shù)，但在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，故B不對．
對于C：f（x）+f（-x）=$ln（x+\sqrt{1+{x}^{2}}）+ln（-x+\sqrt{1+{x}^{2}}）$=0，是奇函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，所以在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，故C對．
對于D：$y=\frac{{3}^{x}+1}{{3}^{x}-1}=1+\frac{2}{{3}^{x}-1}$，在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，故D不對．
故選C．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，需要熟練應用常用函數(shù)的性質(zhì)和圖象，屬于基礎題．