Question

20．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且S_△ABC=3，0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，函數(shù)f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ．
（1）求角A的取值范圍；
（2）求f（A）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角形面積可得$\frac{1}{2}bc•sinA=3$，由0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，得0≤bccosA≤6，兩式聯(lián)立可得tanA≥1，從而求得A的范圍；
（2）把A代入f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ，降冪后利用輔助角公式化簡(jiǎn)，由A的范圍求得f（A）的值域．

解答 解：（1）∵S_△ABC=3，
∴$\frac{1}{2}bc•sinA=3$，即bcsinA=6，則bc=$\frac{6}{sinA}$，①
∵0≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，
∴0≤bccosA≤6，②
把①代入②得：$0≤\frac{cosA}{sinA}≤1$，即tanA≥1，
∴A∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）．
當(dāng)A=$\frac{π}{2}$時(shí)，①化為bc=6，此時(shí)②成立．
∴A∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]；
（2）f（A）=2sin²（$\frac{π}{4}$+A）-$\sqrt{3}$cos2A=$1-cos（\frac{π}{2}+2A）-\sqrt{3}cos2A$
=1+sin2A-$\sqrt{3}$cos2A=1+2sin（2A-$\frac{π}{3}$）．
∵A∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]，∴$2A-\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]．
∴f（A）∈[2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，是中檔題．