Question

15．已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（ω＞0）的部分圖象如圖所示，下面結(jié)論錯誤的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）的最小周期為$\frac{2π}{3}$
• B． 圖象f（x）的圖象可由g（x）=Acos（ωx）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位得到
• C． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱
• D． 函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 由函數(shù)圖象可求函數(shù)的周期，利用正確公式可求ω，又由題圖可知f（$\frac{7π}{12}$）=Acos（φ-$\frac{1}{4}$π）=0，利用五點作圖法可φ，從而可得函數(shù)解析式，令3x+$\frac{7π}{4}$=kπ，k∈Z，可解得函數(shù)的對稱軸方程，令2kπ-π≤3x+$\frac{7π}{4}$≤2kπ，k∈Z，可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可逐一判斷各個選項，從而得解．

解答 解：∵由題意可知，此函數(shù)的周期T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{7π}{12}$）=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，
∴解得：ω=3，可得：f（x）=Acos（3x+φ）．
又∵由題圖可知f（$\frac{7π}{12}$）=Acos（3×$\frac{7π}{12}$+φ）=Acos（φ-$\frac{1}{4}$π）=0，
∴利用五點作圖法可得：φ-$\frac{1}{4}$π=$\frac{3π}{2}$，解得：φ=$\frac{7π}{4}$，
∴f（x）=Acos（3x+$\frac{7π}{4}$）．
∴令3x+$\frac{7π}{4}$=kπ，k∈Z，可解得函數(shù)的對稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{3}$-$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
令2kπ-π≤3x+$\frac{7π}{4}$≤2kπ，k∈Z，可解得：$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{11π}{12}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{11π}{12}$，$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
∴對于A，函數(shù)f（x）的最小周期為$\frac{2π}{3}$，故A正確；
對于B，因為g（x）=Acos3x的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位得到y(tǒng)=Acos[3（x-$\frac{π}{12}$）]=Acos（3x-$\frac{π}{4}$）=Acos（3x-$\frac{π}{4}$）=Acos（3x+$\frac{7π}{4}$）=f（x），故B正確；
對于C，因為函數(shù)的對稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{3}$-$\frac{7π}{12}$，k∈Z，令k=2，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，故C正確；
對于D，因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{11π}{12}$，$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{7π}{12}$]，k∈Z，令k=2，可得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{5π}{12}$，$\frac{3π}{2}$]，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上不單調(diào)遞增，故D錯誤．
故選：D．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性及其求法，考查視圖能力，計算能力，屬于中檔題．