Question

10．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若Γ與圓E：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=1相交于M，N兩點(diǎn)，且圓E在Γ內(nèi)的弧長(zhǎng)為$\frac{2}{3}$π．
（I）求a，b的值；
（II）過Γ的中心作兩條直線AC，BD交Γ于A，C和B，D四點(diǎn)，設(shè)直線AC的斜率為k₁，BD的斜率為k₂，且k₁k₂=$\frac{1}{4}$．
（1）求直線AB的斜率；
（2）求四邊形ABCD面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由圓E在Γ內(nèi)的弧長(zhǎng)為$\frac{2}{3}$π，可得該弧所對(duì)的圓心角為$\frac{2}{3}π$，可得M$（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，N$（1，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得a，b．
（II）（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，可得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入k₁k₂=$\frac{1}{4}$．∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，即4y₁y₂=x₁x₂，可得4k²=1，解得k．
（2）|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，點(diǎn)O到直線BA的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，四邊形ABCD的面積S=4S_△ABO=2|AB|d，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）由圓E在Γ內(nèi)的弧長(zhǎng)為$\frac{2}{3}$π，可得該弧所對(duì)的圓心角為$\frac{2}{3}π$，可得M$（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，N$（1，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（II）（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=kx+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，
可得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，△=16（1+4k²-m²）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∵k₁k₂=$\frac{1}{4}$．∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，即4y₁y₂=x₁x₂，
∴4k²=1，解得$k=±\frac{1}{2}$．
（2）|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{16（4{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$，
點(diǎn)O到直線BA的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
四邊形ABCD的面積S=4S_△ABO=2|AB|d=4|m|$\sqrt{2-{m}^{2}}$≤4×$\frac{{m}^{2}+2-{m}^{2}}{2}$=4，
∵m²∈（0，2），且m²≠1，∴S∈（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．