Question

18．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)P在圓C：x²+（y+2）²=9上，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若過圓C的圓心的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由圓C：x²+（y+2）²=9上，令x=0，可得P（0，1），b=1，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出橢圓E的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，代入$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，解出k的值即可得出．

解答 解：（1）由圓C：x²+（y+2）²=9上，令x=0，可得y=1，或-5．∴P（0，1），b=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，
設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²-16kx+12=0，
△=256k²-48（1+4k²）＞0，化為：k²$＞\frac{3}{4}$．
可得x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=1，
∴x₁x₂+（kx₁-3）（kx₂-3）=1，
化為（1+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+8=0，
∴$\frac{12（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{48{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+8=0，
化為：k²=5．滿足△＞0．
∴k=$±\sqrt{5}$．
∴直線l的方程為：y=$±\sqrt{5}$x-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．