Question

2．如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，且平面ABCD⊥平面ABE，AE=BE，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求點(diǎn)F到平面ABCD的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BF⊥AE，BC⊥AB，從而BC⊥AE，由此能證明AE⊥平面BCE．
（2）推導(dǎo)出AE=BE=$\sqrt{2}$，CF=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，作EG⊥AB于G，F(xiàn)H⊥面ABCD，EG=1，從而$\frac{EG}{FH}=\frac{EC}{FC}=\frac{3}{2}$，由此能求出FH．

解答 證明：（1）∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
又平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，
又BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC=B，
∴AE⊥平面BCE．
解：（2）∵AB=2，∴AE=BE=$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{6}$，BC²=CF•CE，∴CF=$\frac{4}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
EG⊥AB于G，F(xiàn)H⊥面ABCD，
C、G、H三點(diǎn)共線，又EG=1，
∴$\frac{EG}{FH}=\frac{EC}{FC}=\frac{3}{2}$，∴FH=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．