Question

已知命題p：關(guān)于x的方程x²-mx-2=0在x∈[0，1]有解；命題q：f（x）=log₂（x²-2mx+

1

2

）在x∈[1，+∞）單調(diào)遞增；若?p為真命題，p∨q是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：首先，判斷命題p為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，然后，再判斷命題q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍．最后，結(jié)合條件：?p為真命題，p∨q是真命題，得到p假q真，最后，得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：由命題p：關(guān)于x的方程x²-mx-2=0在x∈[0，1]有解；
可設(shè)函數(shù)f（x）=x²-mx-2，
∴f（1）≥0，
解得 m≤-1，
由命題q得
x²-2mx+

1

2

＞0，在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，且函數(shù)y=x²-2mx+

1

2

＞0，在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
根據(jù)x²-2mx+

1

2

＞0，在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，得
m＜

3

4

，
由函數(shù)y=x²-2mx+

1

2

＞0，在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，得
m≤1，
∴由命題q得：
m＜

3

4

，
∵?p為真命題，p∨q是真命題，
得到p假q真，
∴m∈（-1，

3

4

）．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍（-1，

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了命題的真假判斷、復(fù)合命題的判斷方法和技巧、函數(shù)的單調(diào)性與應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷兩個(gè)命題分別為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍．