Question

（文科）如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M、N分別是AD、BE的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起（D不在平面ABC內(nèi)）．下列說(shuō)法正確的是

 

．
①不論D折至何位置都有MN∥平面DEC；
②不論D折至何位置都有MN⊥AE；
③不論D折至何位置都有MN∥AB；
④在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使EC⊥AD；
⑤在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使MN∥BD．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：開(kāi)放型,空間位置關(guān)系與距離

分析：利用直線(xiàn)和平面平行、直線(xiàn)和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，結(jié)合反例、反證法的思想方法，逐一判斷得出答案．

解答： 解：由已知，在未折疊的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD．
∴四邊形ABED為平行四邊形，∴DA=EB．
折疊后得出圖形如下：
①過(guò)M，N分別作AE，BC的平行線(xiàn)，交ED，EC于F，H．連接FH
則

HN

CB

=

EN

EB

，

FM

EA

=

DM

DA

，
∵AM=BN，∴EN=DM，等量代換后得出HN=FM，
又CB∥EA，∴HN∥FM，
∴四邊形MNHF是平行四邊形．
∴MN∥FH
∵M(jìn)N?面CED，HF?面CED．∴MN∥平面DEC．  ①正確
②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，∴AE⊥面CED，HF?面CED，
∴AE⊥HF，∴MN⊥AE；②正確
③MN與AB 異面．假若MN∥AB，則MN與AB確定平面MNAB，
從而B(niǎo)E?平面MNAB，AD?平面MNAB．與BE和AD是異面直線(xiàn)矛盾．③錯(cuò)誤．
④當(dāng)CE⊥ED時(shí)，EC⊥AD．∵CE⊥EA，EA∩ED=E，∴CE⊥面AED，AD?面AED．得出EC⊥AD．④正確．
⑤由①知，在折起過(guò)程中，不存在某個(gè)位置，使MN∥BD．⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線(xiàn)和直線(xiàn)、直線(xiàn)和平面位置關(guān)系的判斷．利用有關(guān)的定義、定理、性質(zhì)確定命題的正確性，結(jié)合反例、反證法說(shuō)明命題的錯(cuò)誤性，是判斷命題真假的常用方法．