Question

已知函數f（x）=x²+2x的圖象在點A（x₁，f（x₁））與點B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂＜0）處的切線互相垂直，則x₂-x₁的最小值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：利用導數的幾何意義即可得到切線的斜率，因為切線互相垂直，可得f′（x₁）f′（x₂）=-1，即（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．可得x₂-x₁=

1

2

[-（2x₁+2）+（2x₂+2）]，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：∵x₁＜x₂＜0，∴f（x）=x²+2x+，∴f′（x）=2x+2，
∴函數f（x）在點A，B處的切線的斜率分別為f′（x₁），f′（x₂），
∵函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，
∴f′（x₁）f′（x₂）=-1，
∴（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．
∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x₂-x₁=

1

2

[-（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥

(2x1+2)(2x2+2)

=1，當且僅當-（2x₁+2）=2x₂+2=1，
即x₁=-

3

2

，x₂=-

1

2

時等號成立．
∴函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值為1．
故選：B．

點評：本題主要考查了基本函數的性質、利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義、基本不等式的性質，屬于中檔題．