Question

12．已知直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}$（t為參數(shù)），曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}$（θ為參數(shù)）．
（1）設l與C₁相交于A，B兩點，求|AB|；
（2）若把曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標壓縮為原來的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲線C₂，設點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）將直線l中的x與y代入到直線C₁中，即可得到交點坐標，然后利用兩點間的距離公式即可求出|AB|．
（2）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C₂任意點P的坐標，利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進而得到距離d的最小值即可．

解答 解：（1）l的普通方程為y=$\sqrt{3}$（x-2），C₁的普通方程為x²+y²=4，
聯(lián)立方程組，解得交點坐標為A（1，-$\sqrt{3}$），B（2，0）
所以|AB|=$\sqrt{1+3}$=2；
（II）曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
設所求的點為P（cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），
則P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}sinθ-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$[$\sqrt{2}$sin（θ-45°）+2]
當sin（θ-45°）=-1時，d取得最小值$\frac{\sqrt{6}}{2}（\sqrt{2}-1）$．

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)曲線C₂的參數(shù)方程設出所求P的坐標，根據(jù)點到直線的距離公式表示出d，進而利用三角函數(shù)來解決問題是解本題的思路．