Question

過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線l₁交拋物線于A、B兩點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）過點(diǎn)A作拋物線的切線交y軸于點(diǎn)C，求線段AC中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若l₁傾斜角為30°，則在拋物線準(zhǔn)線l₂上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE為正三角形，若存在，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出過點(diǎn)A的拋物線的切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用△=0，求出k，再代回切線方程，求C點(diǎn)坐標(biāo)，這樣就可找到AC中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出中點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)E．由已知l₁：y-

p

2

=

3

3

x  聯(lián)立拋物線方程有：x²=2p（

3

3

+

p

2

），故可求A，B的坐標(biāo)．欲使△ABE為正△，則k_BE不存在．從而可知不存在符合條件的點(diǎn)E．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），過點(diǎn)A的切線方程為y=k（x-x₁）+y₁
由

y=k(x-x1)+y1 x2=2py

得x²-2pkx+2pkx₁-2py₁=0
令△=4p²k²-4（2pkx₁-2py₁）=0
解得k=

1

p

x1
∴切線方程為y=

1

p

x1(x-x1)+y1
令x=0，得y=-

x12

p

+y1=-2y1+y1=-y1
∴線段AC中點(diǎn)M為（x，0）
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y=0（x≠0）
（2）假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)E．
由已知l₁：y-

p

2

=

3

3

x  聯(lián)立拋物線方程有：x²=2p（

3

3

+

p

2

）
∴x²-

2 3

3

px-p2=0
∴x₁=-

3 p

3

，x₂=

3

p  
故A（-

3

3

p，

p

6

），B（

3

p，

3

2

p）
∵△ABE為正△
∴k_AE=-

3

3

∴AE：y-

p

6

=-

3

3

（x+

3

3

p）  即y=-

3

3

x-

p

6

準(zhǔn)線l₂：y=-

p

2

∴E（-

p

2

，

3

p）
欲使△ABE為正△，則k_BE不存在．即x_B=x_E不符合
∴不存在符合條件的點(diǎn)E．

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解．