Question

設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）為平面直角坐標系的兩點，其中x_A，y_A，x_B，y_B∈Z，令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△x|+|△y|=3，且△x•△y≠0，則稱點B為A的“相關點”，記作：B=△τ（A），已知P₀（x₀，y₀）（x₀，y₀∈Z）為平面上一個定點，平面上點列{P_i}滿足：P_i=τ（P_i-1），且點Pi的坐標為（x_i，y_i），其中i=1，2，3，…，n．
（1）點P₀的“相關點有

 

個；
（2）若P₀（1，0），且y₁₀=12，記T=x₀+x₁+x₂+…+x₁₀，則T的最大值為

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：（1）根據(jù)絕對值的意義，可得整數(shù)△x與△y在{±1，±2}中取值，滿足絕對值的和等于3，由此可得點P₀的相關點有8個；
（2）令△x_i=x_i-x_i-1，△y_i=y_i-y_i-1（i=1，2，3，…，10），依題意可得（y₁₀-y₉）+（y₉-y₈）+…+（y₂-y₁）+（y₁-y₀）=12．由|△x_i|+|△y_i|=3且|△x_i|的|△y_i|都是非零整數(shù)，可得當△x_i=2的個數(shù)越多，且在△x₁，△x₂，△x₃，…，△x_n-1，△x_n這個序列中，數(shù)字2的位置越靠前，應的T值越大，從而得到當△y_i取值為1或-1的次數(shù)最多時，相應地△x_i取2的次數(shù)最多，可使T的值最大．進而得到本題答案．

解答： 解：（1）∵|△x|+|△y|=3，（|△x|•|△y|≠0）
∴|△x|=1且|△y|=2，或|△x|=2且|△y|=1，
∴點P₀的相關點有8個．
（2）令△x_i=x_i-x_i-1，△y_i=y_i-y_i-1，（i=1，2，3，…，n）
依題意（y₁₀-y₉）+（y₉-y₈）+…+（y₂-y₁）+（y₁-y₀）=12，
∵T=x₀+x₁+x₂+…+x₁₀=1+（1+△x₁）+（1+△x₁+△x₂）+…+（1+△x₁+△x₂+…+△x₁₀）
=11+10△x₁+9△x₂+…+2△x₉+△x₁₀）…（10分）
∵|△x_i|+|△y_i|=3，且|△x_i|的|△y_i|都是非零整數(shù)，
∴當△x_i=2的個數(shù)越多，則T的值越大，
∵在△x₁，△x₂，△x₃，…，△x₉，△x₁₀這個序列中，數(shù)字2的位置越靠前，相應的值越大
且當△y_i取值為1或-1的次數(shù)最多時，△x_i取2的次數(shù)才能最多，T的值才能最大．
由（y₁₀-y₉）+（y₉-y₈）+…+（y₂-y₁）+（y₁-y₀）=12，
可得：所有的△y_i中至有8個1，此時△x_i都取2，
而其它的△y_i都即2，此時△x_i都取1，
得T=11+2（1+2+…+8）+9+10=121．
故答案為：8，102

點評：本題給出平面坐標系內(nèi)“相關點”的定義，討論了T的最大值問題．著重考查了絕對值的意義、等差數(shù)列的求和公式、方程的整數(shù)解和圓的標準方程等知識，屬于難題．請同學們注意答過程中逐項作差再累加求和、分類討論思想和轉(zhuǎn)化化歸方法的運用．