Question

【題目】設(shè)各項均為整數(shù)的無窮數(shù)列滿足：，且對所有，均成立.

（1）寫出的所有可能值（不需要寫計算過程）；

（2）若是公差為1的等差數(shù)列，求的通項公式；

（3）證明：存在滿足條件的數(shù)列，使得在該數(shù)列中，有無窮多項為2019.

Answer 1

【答案】（1），，，1，3，5，7；（2），；（3）證明見解析.

【解析】

（1）通過列舉法表示出所有可能值

（2）分析可知表示的是原數(shù)列中的奇數(shù)項，求得奇數(shù)項的通項公式，再利用相鄰兩項差的絕對值的關(guān)系構(gòu)造關(guān)系式解出偶數(shù)項，進而求得通項

（3）可利用（2）中的數(shù)列，構(gòu)造一個循環(huán)數(shù)列，則可證明循環(huán)數(shù)列中存在無窮多項為2019

（1），，，1，3，5，7；

（2）是公差為1的等差數(shù)列，

數(shù)列的所有奇數(shù)項為公差為1的等差數(shù)列，

當時，

當時，由可知：，即

解得：，；

（3）由（2）可知存在一個數(shù)列使得奇數(shù)項為從1開始的連續(xù)自然數(shù)，則易知，

然后自4037項開始，構(gòu)造奇數(shù)項為公差為的等差數(shù)列，由（2）可知，

當，時，

當時，由可知

即，解得：

則當奇數(shù)項取至1時，重復第一段的數(shù)列，得到一個周期數(shù)列，在此周期數(shù)列中，存在無窮多項為2019，即可得證．