【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，且），且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值；

（3）若，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得是遞增數(shù)列？若存在，求出的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由題意得出，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算得出，然后計(jì)算出為非零常數(shù)，利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求出和，利用分組求和法得出，然后分析數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，可得出該數(shù)列的最小值為，由此可得出結(jié)果；

（3）求出，由數(shù)列是遞增數(shù)列，得出，可得出，然后分和兩種情況分類(lèi)討論，利用不等式的性質(zhì)和參變量分離法可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）證明：由題意，

即，得，且，．

常數(shù)且，為非零常數(shù)，

數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；

（2）當(dāng)時(shí)，，，.

.

，數(shù)列是遞增數(shù)列，

因而最小值為；

（3）由（1）知，，要使對(duì)一切成立，

即對(duì)一切成立．

當(dāng)時(shí)，，對(duì)一切恒成立；

當(dāng)時(shí)，，對(duì)一切恒成立，只需，

單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，．

，且，．

綜上所述，存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知曲線(xiàn)M：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，設(shè)P是曲線(xiàn)M上的任意一點(diǎn).

（1）當(dāng)P異于A，B時(shí)，記直線(xiàn)PA、PB的斜率分別為、則是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）已知點(diǎn)C在曲線(xiàn)M長(zhǎng)軸上（異于A、B兩點(diǎn)），且的最大值為7，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

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【題目】為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比.藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：

（1）求從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米空氣的含藥量降到0．25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后，學(xué)生才能回到進(jìn)教室？

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：與坐標(biāo)軸分別交于A1，A2，B1，B2(如圖)．

（1）點(diǎn)Q是圓O上除A1，A2外的任意點(diǎn)(如圖1)，直線(xiàn)A1Q，A2Q與直線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)M，N，求線(xiàn)段MN長(zhǎng)的最小值；

（2）點(diǎn)P是圓O上除A1，A2，B1，B2外的任意點(diǎn)(如圖2)，直線(xiàn)B2P交x軸于點(diǎn)F，直線(xiàn)A1B2交A2P于點(diǎn)E．設(shè)A2P的斜率為k，EF的斜率為m，求證：2m﹣k為定值．

（圖1） （圖2）

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【題目】求具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)：對(duì)任意正整數(shù)，.

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【題目】定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)為三角形”數(shù)列對(duì)于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個(gè)三角形”數(shù)列，則稱(chēng)是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”．

（1）已知是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若，是數(shù)列的保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；

（2）已知數(shù)列的首項(xiàng)為2019，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足，證明是“三角形”數(shù)列；

（3）求證：函數(shù)，是數(shù)列1，，的“保三角形函數(shù)”的充要條件是，．

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【題目】現(xiàn)對(duì)一塊邊長(zhǎng)8米的正方形場(chǎng)地ABCD進(jìn)行改造，點(diǎn)E為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線(xiàn)段CD或AD上（異于A，C），設(shè)（米），的面積記為（平方米），其余部分面積記為（平方米）.

（1）當(dāng)（米）時(shí)，求的值；

（2）求函數(shù)的最大值；

（3）該場(chǎng)地中部分改造費(fèi)用為（萬(wàn)元），其余部分改造費(fèi)用為（萬(wàn)元），記總的改造費(fèi)用為W（萬(wàn)元），求W取最小值時(shí)x的值.

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（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；

（2）在（1）的條件下，若射線(xiàn)與曲線(xiàn)分別交于A, B兩點(diǎn)（除極點(diǎn)外），且有定點(diǎn)，求的面積．

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