Question

設(shè)，若a₁+a₂+…+a_n=a₁a₂…a_n，則稱集合A是集合M的n元“好集”．
（1）寫出實數(shù)集R上的一個二元“好集”；
（2）是否存在正整數(shù)集合N^*上的二元“好集”？說明理由；
（3）求出正整數(shù)集合N^*的所有三元“好集”．

Answer 1

解：（1）∵-1+=（-1）×，∴．
（2）設(shè)A={a₁，a₂}是正整數(shù)集N^*上的二元“好集”，
則a₁+a₂=a₁a₂且，不妨設(shè)a₂＞a₁
則a₁=a₁a₂-a₂=a₂（a₁-1），，∵，
∴滿足的a₁∈N^*不存在；
故不存在正整數(shù)集合N^*上的二元“好集”．
（3）設(shè)A={a₁，a₂，a₃}是正整數(shù)集N^*上的三元“好集”，不妨設(shè)，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃＜3a₃?a₁a₂＜3，
滿足a₁a₂＜3的正整數(shù)只有a₁=1，a₂=2，代入a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃得a₃=3，
故正整數(shù)集合N^*的所有三元“好集”為{1，2，3}．
分析：根據(jù)集合中元素滿足的性質(zhì)a₁+a₂+…+a_n=a₁a₂…a_n，可驗證{-1，}符合條件求解（1）；
對（2）可用反證法證明：在正整數(shù)集合N^*上的二元“好集”不存在；
對（3）利用不等式的放縮技巧，不妨設(shè)a₃＞a₂＞a₁，a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃＜3a₃，這樣就可限制a₁、a₂的大小，從而求出符合條件的“好集”．
點評：本題借助新定義問題，考查集合中元素的互異性、確定性、無序性．