【題目】如圖,在正四面體ABCD中, 是的中心, 分別是上的動點(diǎn),且.
(1)若平面,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若,正四面體ABCD的棱長為,求平面和平面所成的角余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)本問主要考查線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用,若平面,那么經(jīng)過OE的平面與平面ACD相交,則OE平行于交線,因此需要找到經(jīng)過OE的平面,由是正的中心,易知O為BC的三等分點(diǎn),因此能確定E點(diǎn)位置;(2)本問主要考查用空間向量求二面角問題,當(dāng)時,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),以O為原點(diǎn),過O作CD的垂線為x軸,過O作BC的垂線為y軸,OA為z軸,建立空間直角直角坐標(biāo)系,則易得出下列各點(diǎn)坐標(biāo), ,由此求出相關(guān)向量的坐標(biāo),再分別求出平面和平面的法向量,根據(jù)兩個平面的法向量可以求夾角的余弦,再由圖觀察向量成角的余弦與二面角余弦之間的關(guān)系即可.
試題解析:(1)取的中點(diǎn),連接,
∵是正的中心 ∴點(diǎn)在上,且,
∵當(dāng)時,平面 ,
∴∴,即,
∴.
(2)當(dāng)時,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,依題設(shè)
,則, ,
則,
設(shè)平面的法向量為則,
∴,
不妨令,則,
又平面的一個法向量為.
設(shè)所求二面角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定橢圓,稱圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個焦點(diǎn)為,其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為.
(1)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點(diǎn),過點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).
①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時,求直線的方程并證明;
②求證:線段的長為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:
①當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角;
②當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角;
③直線AB與a所稱角的最小值為45°;
④直線AB與a所稱角的最小值為60°;
其中正確的是________。(填寫所有正確結(jié)論的編號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面內(nèi)給定三個向量 =(3,2), =(﹣1,2), =(4,1).回答下列問題:
(1)若( +k )∥(2 ﹣ ),求實(shí)數(shù)k;
(2)設(shè) =(x,y)滿足( ﹣ )∥( + )且| ﹣ |=1,求 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過對某城市一天內(nèi)單次租用共享自行車的時間分鐘到鐘的人進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照租車時間, , , , 分組做出頻率分布直方圖,并作出租用時間和莖葉圖(圖中僅列出了時間在, 的數(shù)據(jù)).
(1)求的頻率分布直方圖中的;
(2)從租用時間在分鐘以上(含分鐘)的人數(shù)中隨機(jī)抽取人,設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的人租用時間在內(nèi)的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A(4,0),B(0,4),C(3cosα,3sinα).
(1)若α∈(﹣π,0),且| |=| |,求角α的大;
(2)若 ⊥ ,求 的值.
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