Question

【題目】設(shè)兩實數(shù)不相等且均不為.若函數(shù)在時，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”.已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)所有“倒域區(qū)間”的圖象作為函數(shù)的圖象，是否存在實數(shù)，使得與恰好有2個公共點?若存在，求出的取值范圍：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在,

【解析】

（1）根據(jù)倒域區(qū)間的定義,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,解方程即可求得的值,可得函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”.

（2）結(jié)合倒域區(qū)間的定義,先求得函數(shù)的解析式.根據(jù)兩個函數(shù)有兩個交點,即可得關(guān)于的方程,分離參數(shù)得的表達式,根據(jù)打勾函數(shù)的圖像及性質(zhì)即可求得的取值范圍.

（1）

由二次函數(shù)性質(zhì)可知, 在時單調(diào)遞減

設(shè),則其值域為

所以,化簡可得

因式分解可得

解得,

因為

所以

即倒域區(qū)間為

（2）兩實數(shù)不相等且均不為.且滿足時,函數(shù)值的取值區(qū)間恰為

則,所以與符號相同,即同為正數(shù)或同為負數(shù)

因為定義域為

所以存在兩種可能:與

當時,由二次函數(shù)的圖像可知

所以滿足,即

所以.由（1）可知其倒域區(qū)間為

當時,由二次函數(shù)的圖像可知

所以滿足,即

所以,根據(jù)倒域區(qū)間的定義,同理可求得其倒域區(qū)間為

綜上可知,

因為

當時,

令

則

畫出與的圖像

可知沒有交點.

若兩個函數(shù)恰有2個公共點,則兩個函數(shù)圖像在有2個交點.

即在上有兩個不同交點.

化簡可得,即為打鉤函數(shù).

畫出函數(shù)圖像如下圖所示.

則當,即時取得最小值,最小值為

當時,,

當時,

因為

所以為有兩個交點,則的取值范圍為