Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx（a∈R），
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）f′(x)=2x-

2a

x

=

2x2-2a

x

，（x＞0）．對a分類討論：當a≤0時，f′（x）＞0，即可得出單調(diào)性；當a＞0時，分別解出令f′（x）＞0；令f′（x）＜0，即可得出單調(diào)性．
（II）g（x）=f（x）+2x=x²-2alnx+2x，g′（x）=2x+2-

2a

x

=

2x2+2x-2a

x

．由于g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，g′（x）≥0在[1，2]上恒成立．轉(zhuǎn)化為a≤x²+x，x∈[1，2]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）f′(x)=2x-

2a

x

=

2x2-2a

x

，（x＞0）．
當a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當a＞0時，令f′（x）＞0，解得x＞

a

，函數(shù)f（x）在區(qū)間(

a

，+∞)上單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜

a

，函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

a

)上單調(diào)遞減．
綜上可得：當a≤0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間(

a

，+∞)上單調(diào)遞增；函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

a

)上單調(diào)遞減．
（II）g（x）=f（x）+2x=x²-2alnx+2x，
g′（x）=2x+2-

2a

x

=

2x2+2x-2a

x

．
由于g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴g′（x）≥0在[1，2]上恒成立．
∴a≤x²+x，
∵x2+x=(x+

1

2

)2-

1

4

，在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，
∴（x²+x）_min=2．
∴a≤2．
∴a的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．