【題目】已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn),且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓相切,又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與P關(guān)于直線對(duì)稱.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)直線與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn),另一直線經(jīng)過及AB的中點(diǎn),求直線在y軸上的截距b的取值范圍;
(3)若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn),、為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),從引的角平分線的垂線,垂足為N,試求點(diǎn)N的軌跡方程.
【答案】(1);(2);(3),.
【解析】
(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為,則,由該直線與圓相切,知雙曲線的兩條漸近線方程為.由此利用雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,能求出雙曲線的方程.
(2)由,得.令.直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn),等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根.由此能求出直線在軸上的截距的取值范圍.
(3)若在雙曲線的右支上,則延長(zhǎng)到,使,若在雙曲線的左支上,則在上取一點(diǎn),使.由此能求出點(diǎn)的軌跡方程.
(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為,則,
該直線與圓相切,
雙曲線的兩條漸近線方程為.
故設(shè)雙曲線的方程為.
又雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,
,.
雙曲線的方程為.
(2)由,得.
令
直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn),等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根.
因此,解得.
又中點(diǎn)為,
因?yàn)橹本與軸相交,所以,即,
直線的方程為.
令,得.
,
,
.
(3)若在雙曲線的右支上,
則延長(zhǎng)到,使,
若在雙曲線的左支上,
則在上取一點(diǎn),使.
根據(jù)雙曲線的定義,
所以點(diǎn)在以為圓心,2為半徑的圓上,
即點(diǎn)的軌跡方程是①
由于點(diǎn)是線段的中點(diǎn),
設(shè),,.
則,即.
代入①并整理得點(diǎn)的軌跡方程為.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:.
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【題目】如圖,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,O是BD的中點(diǎn),E是棱CC1上任意一點(diǎn).
(1)證明:BD⊥A1E;
(2)如果AB=2,,OE⊥A1E,求AA1的長(zhǎng).
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【題目】為滿足人們的閱讀需求,圖書館設(shè)立了無(wú)人值守的自助閱讀區(qū),提倡人們?cè)陂喿x后將圖書分類放回相應(yīng)區(qū)域.現(xiàn)隨機(jī)抽取了某閱讀區(qū)500本圖書的分類歸還情況,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位:本).
文學(xué)類專欄 | 科普類專欄 | 其他類專欄 | |
文學(xué)類圖書 | 100 | 40 | 10 |
科普類圖書 | 30 | 200 | 30 |
其他圖書 | 20 | 10 | 60 |
(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)文學(xué)類圖書分類正確的概率;
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)圖書分類錯(cuò)誤的概率;
(3)假設(shè)文學(xué)類圖書在“文學(xué)類專欄”、“科普類專欄”、“其他類專欄”的數(shù)目分別為,,,其中,,,當(dāng),,的方差最大時(shí),求,的值,并求出此時(shí)方差的值.
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【題目】在①函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②向量,;③函數(shù)這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并解答.已知_________,函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
(1)若且,求的值;
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.
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【題目】已知函數(shù)在處的切線斜率為2.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若在上無(wú)解,求的取值范圍.
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【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足:
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)求的值;
(3)是否存在大于2的正整數(shù)使得?若存在,求出所有符合條件的若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,為線段的中點(diǎn),若為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不含).
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