Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線斜率為2.

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）若在上無解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和 極小值為，極大值為 (Ⅱ)

【解析】試題分析：

(Ⅰ)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式有，則，由得或.結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號研究函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.則函數(shù)的極小值為，極大值為；

(Ⅱ)構(gòu)造新函數(shù)，令，由題意可得在上恒成立.其中，研究其分母部分，記，由題意可得.分類討論：

若，則單調(diào)遞減.∴恒成立.

若，則在上單調(diào)遞增.而，故與已知矛盾，舍去.

綜上可知， .

試題解析：

解：（Ⅰ）∵ ， ，

∴.

∴， .

令，解得或.

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.

∴函數(shù)的極小值為，極大值為；

（Ⅱ）令.

∵在上無解，

∴在上恒成立.

∵，記，

∵在上恒成立，

∴在上單調(diào)遞減.

∴.

若，則， ，

∴.

∴單調(diào)遞減.

∴恒成立.

若，則，存在，使得，

∴當(dāng)時(shí)， ，即.

∴在上單調(diào)遞增.

∵，

∴在上成立，與已知矛盾，故舍去.

綜上可知， .