Question

14．（1）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，并且經(jīng)過點(diǎn)P（3，0），求橢圓方程；
（2）與雙曲線x²-2y²=2有公共漸近線，且過點(diǎn)M（2，-2），求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)長軸是短軸的3倍，設(shè)出短軸2b，表示出長軸6b，然后分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把P的坐標(biāo)分別代入橢圓方程即可求出相應(yīng)b的值，然后分別寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）先設(shè)出雙曲線的方程，利用已知雙曲線的漸近線求得a和b的關(guān)系，然后把點(diǎn)（2，-2）代入雙曲線方程求得a，進(jìn)而求得b，則雙曲線的方程可得．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的短軸為2b（b＞0），長軸為2a=6b，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{9^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$或$\frac{{y}^{2}}{9^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，
把P（3，0）代入橢圓方程分別得：$\frac{9}{9^{2}}$=1或$\frac{9}{^{2}}$=1，
解得b=1或b=3
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{9{\;}^{\;}}+{y}^{2}=1$或$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{81}=1$；
（2）依題意可在知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，
設(shè)出雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，
根據(jù)已知曲線方程可知其漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$a=b
把點(diǎn)（2．-2）代入得：$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{4}{{2a}^{2}}=1$中求得b=2，a=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線的方程為：$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生會利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查考生分析推理和基本的運(yùn)算能力．