Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+2}{x-1}$，g（x）=a^x（a＞1），若存在x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（1，4）；若對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，2），使得g（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為2．

Answer 1

分析 利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)m=f（x₀）=$\frac{{x}_{0}+2}{{x}_{0}-1}$=1+$\frac{3}{{x}_{0}-1}$，從而求實(shí)數(shù)m的取值范圍；再由x₂∈（1，2）知f（x₂）∈（4，+∞）；從而可得a²≥4；從而解得．

解答 解：∵m=f（x₀）=$\frac{{x}_{0}+2}{{x}_{0}-1}$=1+$\frac{3}{{x}_{0}-1}$，
又∵x₀∈（2，+∞），
∴1＜1+$\frac{3}{{x}_{0}-1}$＜4，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（1，4）；
∵x₂∈（1，2）時(shí)，f（x₂）∈（4，+∞）；
又∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，2），使得g（x₁）=f（x₂）成立，
∴a²≥4；
故a≥2；
即實(shí)數(shù)a的最小值為2；
故答案為：（1，4），2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分離常數(shù)法求函數(shù)的值域及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．