Question

已知∠AOB=

π

3

，動(dòng)點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，若四邊形OMPN的面積等于

3

，則線段OP的長度的最小值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,三角形的面積公式

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：設(shè)OP=x且∠POM=θ，可得∠PON=

π

3

-θ（0＜θ＜

π

3

），利用三角函數(shù)的定義算出PM、OM用x與θ表示的式子，得到S_△PMO=

1

2

x²sinθcosθ，同理得到S_△PNO=

1

2

x²sin（

π

3

-θ）cos（

π

3

-θ）．根據(jù)四邊形OMPN的面積等于

3

建立關(guān)于x、θ的等式，利用三角恒等變換化簡得x²sin（2θ+

π

6

）=4，再根據(jù)三角函數(shù)的值域加以計(jì)算，可得θ=

π

6

時(shí)x有最小值為2，從而得到答案．

解答： 解：設(shè)OP=x，∠POM=θ，則∠PON=

π

3

-θ，（0＜θ＜

π

3

）
∵Rt△PMO中，sinθ=

PM

OP

，cosθ=

OM

OP

，
∴PM=OPsinθ=xsinθ，OM=OPcosθ=xcosθ．
由此可得S_△PMO=

1

2

PM×OM=

1

2

x²sinθcosθ．
同理可得S_△PNO=

1

2

PN×ON=

1

2

x²sin（

π

3

-θ）cos（

π

3

-θ）．
∵四邊形OMPN的面積等于

3

，
∴S_△PMO+S_△PNO=

3

，即

1

2

x²sinθcosθ+

1

2

x²sin（

π

3

-θ）cos（

π

3

-θ）=

3

，
可得x²[sin2θ+sin（

2π

3

-2θ）]=4

3

，
即x²（

3

2

cos2θ+

3

2

sin2θ）=4

3

，化簡得x²sin（2θ+

π

6

）=4，
∵0＜θ＜

π

3

，得2θ+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴當(dāng)且僅當(dāng)2θ+

π

6

=

π

2

時(shí)，即θ=

π

6

時(shí)，sin（2θ+

π

6

）有最大值為1，
因此x²=

4

sin(2θ+ π 6 )

在θ=

π

6

時(shí)，有最小值為4，可得x的最小值為2．
綜上所述，可得線段OP的長度的最小值等于2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求線段OP長的最小值．著重考查了三角函數(shù)的定義、三角形面積公式、三角恒等變換與三角函數(shù)的值域與最值等知識(shí)，屬于中檔題．