【題目】已知圓M過(guò)點(diǎn)A(1,3),B(4,2),且圓心在直線y=x﹣3上.
(Ⅰ)求圓M的方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)(﹣4,1)的直線l與圓M相切,求直線l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)∵圓M過(guò)點(diǎn)A(1,3),B(4,2),
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為( , ),直線AB的斜率kAB= =﹣ ,
∴AB的中垂線方程為y﹣ =3(x﹣ ),即y=3x﹣5,
∵圓心M在直線y=x﹣3上.∴由 ,得M(1,﹣2),
∴r=|MA|= =5,
∴圓M的方程為(x﹣1)2+(y+2)2=25.
(Ⅱ)當(dāng)直線l的方程為x=﹣4時(shí),符合條件,
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為:y﹣1=k(x+4),即kx﹣y+4k+1=0,
圓心M到直線l的距離d= =5,解得k= ,
∴y= ,
綜上,直線l的方程為x=﹣4或y=
【解析】(Ⅰ)求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為( , ),直線AB的斜率kAB=﹣ ,從而得到AB的中垂線方程為y=3x﹣5,再由圓心M在直線y=x﹣3上,聯(lián)立方程組,求出圓心M,從而求出r=|MA|,由此能求出圓M的方程.(Ⅱ)當(dāng)直線l的方程為x=﹣4時(shí),符合條件,當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為kx﹣y+4k+1=0,則圓心M到直線l的距離d= =5,求出k,由此能求出直線l的方程.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在二項(xiàng)式( + )n展開(kāi)式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列. 求:(1)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和;
【答案】解:由題意得2 × =1+ × ,
化為:n2﹣9n+8=0,解得n=1(舍去)或8.
∴n=8.
在 中,令x=1,可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和= = .
(1)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=9x+m3x , 若存在實(shí)數(shù)x0 , 使得f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直線l過(guò)定點(diǎn)P(0,1),且與直線l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0分別交于A、B兩點(diǎn).若線段AB的中點(diǎn)為P,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a<﹣1,函數(shù)f(x)=|x3﹣1|+x3+ax(x∈R).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)已知存在實(shí)數(shù)m,n(m<n≤1),對(duì)任意t0∈(m,n),總存在兩個(gè)不同的t1 , t2∈(1,+∞),
使得f(t0)﹣2=f(t1)=f(t2),求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)F為雙曲線 ﹣ =1(a>b>0)的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線分別交兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),OA⊥AB,若2|AB|=|OA|+|OB|,則該雙曲線的離心率為( )
A.
B.2
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,如圖.
(1)求證:平面AB1D1∥平面C1BD;
(2)試找出體對(duì)角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E,F(xiàn),并證明:A1E=EF=FC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)(, )的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),且圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.
(1)求函數(shù)的解析式以及它的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)是否存在實(shí)數(shù),滿足不等式?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:函數(shù)y=sin2x的最小正周期為 ;命題q:函數(shù)y=cosx的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng).則下列判斷正確的是( )
A.p為真
B.¬q為假
C.p∧q為假
D.p∨q為真
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